师：同学们好，请大家做好课前准备，今天的课程马上就要开始了。首先，我们对上节课的内容做一个简单回顾。上节课，我们先学习了分式的定义：一般地，如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子$\frac{A}{B}$叫做分式，其中 A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。接着，我们学习了有理式的概念，知道整式和分式统称为有理式 。然后，我们还学习了分式有意义、无意义和分式值为 0 的条件。分式有意义的条件是分式分母的值不为 0；分式无意义的条件是分式分母的值等于 0；分式值为 0 的条件是分式分子的值为 0，并且分母的值不为 0。
我们用两组练习题来巩固上节课所学内容。第一组练习：判断下列各式中哪些是分式。先看 A 选项，A 选项可看成是两个整式$x + 1$和 2 的商，但分母 2 是数字，不包含字母，所以它不是分式，而是一个多项式，属于整式。再看 B 选项，$\frac{2}{x + 1}$，它表示整式 2 与$x + 1$的商，且分母$x + 1$中包含字母$x$，符合分式的定义，所以它是分式。C 选项$\frac{x + y}{2}$，很明显是一个多项式，属于整式，不是分式。D 选项$\frac{a}{\pi}$，根据上节课学习，$\pi$表示一个数字，不能看作字母，所以$\frac{a}{\pi}$是一个单项式，属于整式。因此，这道题应选 B。
第二组练习：第一小题，$x$取何值时，分式$\frac{4x}{x^2 - 2}$有意义？分式有意义的条件是分母的值不为 0，所以先求使分母等于 0 的$x$的值。令$x^2 - 4 = 0$，解得$x = \pm 2$，那么只要$x \neq \pm 2$，分式就有意义。第二题，$x$取何值时，分式$\frac{x^2 - 4}{x + 2}$的值为 0？分式值为 0 需满足两个条件，一是分子的值为 0，令分子$x^2 - 4 = 0$，解得$x = \pm 2$；同时要考虑$x = \pm 2$时分母是否不为 0。将$x = \pm 2$分别代入分母，当$x = 2$时，$x + 2 = 4 \neq 0$；当$x = - 2$时，$x + 2 = 0$，此时分母为 0，分式无意义。所以，当$x = 2$时，分式$\frac{x^2 - 4}{x + 2}$的值为 0。
复习完上节课知识，我们继续学习分式及其基本性质。先请同学们完成屏幕上的填空，并说出从左向右变化的依据。
第一题，$\frac{1}{3} = \frac{2}{( )}$，这个空应填 6。为什么呢？因为将$\frac{1}{3}$的分子乘以 2 得到$\frac{2}{6}$的分子 2，根据小学学过的分数基本性质，分数的分子与分母同时乘以一个不为 0 的数，分数的值不变，所以分母 3 也乘以 2 得到 6。
第二题，$\frac{2}{6} = \frac{( )}{12}$，这个空应填 4。怎么得到的呢？比较 12 和 6 这两个分母，12 可看成是 6 乘以 2 得到的，要使分数值不变，分子也得同时乘 2，2 乘以 2 就得到 4。还可以这样看，从$\frac{1}{3}$出发，$\frac{1}{3}$的分母 3 变成 12 需乘以 4，那么分子 1 乘以 4 也正好变成 4。这里运用的是分数的性质，即分数的分子与分母同时乘一个不为 0 的数，分数的值不变。
再看第二组题，$\frac{6}{18} = \frac{3}{( )}$，这个空应填 9。怎么得到的呢？观察发现，将$\frac{6}{18}$的分子 6 除以 2 得到$\frac{3}{9}$的分子 3，要使分数值不变，分母也得同时除以 2，18 除以 2 正好得到 9。这运用的是小学数学学过的分数基本性质：分数的分子与分母都除以同一个不为 0 的数，分数的值不变。根据这个性质，$\frac{3}{9} = \frac{( )}{3}$，这里应填 1。怎么考虑呢？比较 3 和 9，分母 9 变成 3 是除以 3 得到的，要使分数值不变，分子也得同时除以 3，3 除以 3 正好得到 1。还可以和最开始的$\frac{6}{18}$比较，3 可看成由 18 除以 6 得到，那么分母除以 6，分子也要除以 6，6 除以 6 正好是 1。
上面我们用到的就是小学数学学过的分数基本性质：分数的分子与分母都乘以或者除以同一个不为 0 的数，分数的值不变。同学们思考下面的问题：以下三个等式从左到右进行了怎样的变形？观察发现，这三个等式都是对分式$\frac{1}{a}$进行变形，第一个等式在分式$\frac{1}{a}$的分子和分母上同时乘以了 3；第二个等式变形是在分式$\frac{1}{a}$的分子和分母上同时乘以了整式$b$（$b \neq 0$）；第三个等式是在分式$\frac{1}{a}$的分子和分母上同时乘以整式$c - 1$（$c \neq 1$）。
同学们能用一句话归纳以上变形吗？仿照分数的基本性质，我们归纳得到：分式的分子与分母都乘以同一个不等于 0 的整式，分式的值不变。用数学符号表示为$\frac{a}{b} = \frac{a \times m}{b \times m}$，其中 a、b、m 都是整式，并且$m \neq 0$。
继续看下面的讨论：$\frac{a}{2a}$与$\frac{1}{2}$，$\frac{n^2}{mn}$与$\frac{n}{m}$，$\frac{m + n}{a(m + n)}$与$\frac{1}{a}$的值分别相等吗？先说明，今后学习中，约定给出的分式都有意义，即分式分母的值不为 0。
先看$\frac{a}{2a}$，根据约定分母$2a \neq 0$，即$a \neq 0$，所以可在分式分子与分母上同时除以不为 0 的$a$，得到$\frac{1}{2}$，即$\frac{a}{2a} = \frac{1}{2}$。
再看$\frac{n^2}{mn}$，根据约定$mn \neq 0$，意味着$m \neq 0$且$n \neq 0$，所以在分式$\frac{n^2}{mn}$的分子和分母上同时除以不为 0 的整式$n$，得到$\frac{n}{m}$，即$\frac{n^2}{mn} = \frac{n}{m}$。
第三个$\frac{m + n}{a(m + n)}$，根据约定分母$a(m + n) \neq 0$，意味着$a \neq 0$且$m + n \neq 0$，所以在分式分子与分母上同时除以不为 0 的整式$m + n$，得到$\frac{1}{a}$，即$\frac{m + n}{a(m + n)} = \frac{1}{a}$。
通过以上讨论，还能归纳怎样的结论呢？仿照分数的基本性质，在分式的分子与分母都同除以同一个不等于 0 的整式，分式的值不变。用数学符号表示为$\frac{a}{b} = \frac{a \div m}{b \div m}$，其中 a、b、m 都是整式，且$m \neq 0$。
综合以上两个结论，就是我们今天要学习的分式的基本性质：在分式的分子与分母都乘以或除以同一个不为 0 的整式，分式的值不变。用数学符号表示为$\frac{a}{b} = \frac{a \times m}{b \times m} = \frac{a \div m}{b \div m}$，其中 a、b、m 都是整式，且$m \neq 0$。
分式的基本性质中需注意以下几点：第一，性质中的 a、b、m 都是整式；第二，b 是原分式中的分母，按约定它不为 0，而 m 的值对分式有无意义有影响，因为当$m = 0$时，会使原本有意义的分式变得无意义，所以应用分式基本性质时，要考察 m 的值是否为 0；第三，应用分式基本性质时要充分理解“都”和“同”这两个字的含义，避免犯只乘分子或分母一项这样的错误。