师：同学们好，今天这堂课我们共同来学习6.1节平方根立方根第一课时。在学习这个内容之前，我们先来回顾一下，我们已经学习过哪些运算？有加减乘除，还有乘方运算。在这些运算里，加减运算之间有什么关系？乘除运算呢？大家都知道，加减运算互为逆运算，乘除运算也是如此。现在我有个问题，乘方运算有逆运算吗？我们不妨先从简单的平方运算开始看起。大家想一想，生活中有哪些与平方相关的案例呢？我先说一个。问题一，装修房屋选用了某种型号的正方形地砖，4块这种地砖刚好铺成1平方米，如图所示。请问这种地砖一块的边长是多少呢？在这个问题中，边长是未知量，我们把它记为x。根据正方形面积计算，边长的平方等于面积，即(x^{2}=\frac{1}{4})。这里平方的结果幂我们知道是(\frac{1}{4})，那怎么求出x呢？为了解决这个问题，我们要引入一个新的概念——平方根。
在数学中，如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。也可以用符号表示，若(x^{2}=a)，则x叫做a的平方根。这里a是已知量，x是a的平方根。我举两个例子，比如(10^{2}=100)，10是100的平方根。其实(( - 10)^{2})也等于100，所以 - 10也是100的平方根。完整地说，100的平方根有 + 10和 - 10，我们可以将这两个数合写为(\pm10)。
大家能再举出类似的例子吗？来看这样几个问题：16的平方根是多少？0的平方根是什么？ - 9有没有平方根？先想什么数的平方等于16，我们想到(4^{2}=16)，(( - 4)^{2}=16)，所以16的平方根是(\pm4)。0的平方根呢？什么数的平方等于0？我们只找到0，所以0的平方根为0。有没有数的平方等于 - 9呢？因为任何数的平方都不会等于 - 9，所以 - 9没有平方根。同学们也可以再举几个例子，比如25的平方根是什么？是(\pm5)。64的平方根是多少？是(\pm8)。 - 100有平方根吗？没有。
大家把刚才列举的例子分类归纳一下，想一想平方根有什么规律？像100、16这类正数，它们的平方根都有两个，如100的平方根是(\pm10)，16的平方根是(\pm4)，这两个平方根互为相反数。我们可以概括为：一个正数有两个平方根，它们互为相反数。0的平方根只有一个，就是它本身。负数没有平方根，像 - 9、 - 100都没有平方根。
在刚才的探讨中，我们知道一个正数有两个平方根。为了方便表达，我们用符号(\sqrt{a})表示正数a的正的平方根，它还有一个平方根与它互为相反数，记为(-\sqrt{a})。对于正数a来说，它的两个平方根可以合写为(\pm\sqrt{a})。我们把正的平方根也叫做这个数的算术平方根。
在这种表示方法中，(\sqrt{a})读作根号a，(-\sqrt{a})读作负根号a，(\pm\sqrt{a})读作正负根号a。这里a叫做被开方数，(\sqrt{a})是算术平方根，(-\sqrt{a})是算术平方根的相反数。
下面我们类比平方根性质的探讨，归纳一下算术平方根有什么特征？看这个表格回顾一下：正数的平方根有两个，一正一负，正的平方根就是算术平方根，所以正数有且只有一个算术平方根。0的平方根是0，0也作为它的算术平方根。负数没有平方根，当然也没有算术平方根。
通过刚才的学习，我们借助平方运算寻找一个数的平方根。比如(1^{2}=1)，(( - 1)^{2}=1)，(2^{2}=4)，(( - 2)^{2}=4)，(3^{2}=9)，(( - 3)^{2}=9)。反过来，1的平方根是(\pm1)，4的平方根是(\pm2)，9的平方根是(\pm3)。由这些数求平方的过程叫平方运算，由平方结果求平方根的运算叫开平方运算。由此可见，平方运算和开平方运算互为逆运算。
下面看看这些数是否有平方根，为什么？25能找到一个数的平方等于它，25是正数，有平方根，且有两个。(\frac{1}{4})是正数，也有两个平方根。0.0169是正数，有两个平方根。 - 64是负数，没有平方根。归纳一下，因为正数和0都有平方根，负数没有平方根，所以25、(\frac{1}{4})、0.0169都有平方根， - 64没有平方根。
对于正数或0，怎么规范地求出它的平方根和算术平方根呢？根据定义，以1为例，什么数的平方等于1？我们找到(1^{2}=1)，(( - 1)^{2}=1)，所以1的平方根是(\pm1)。正的平方根就是它的算术平方根，所以1的算术平方根是1。用符号表示为(\pm\sqrt{1}=\pm1)，1的算术平方根是1，可记为(\sqrt{1}=1)。
同学们想一想，81的平方根和算术平方根是多少？根据平方运算，(\pm9)的平方都是81，所以81的平方根是(\pm9)，记为(\pm\sqrt{81}=\pm9)，正9是正的平方根，所以81的算术平方根是9。
再看第三小问，谁的平方等于64？(\pm8)的平方都等于64，所以64的平方根是(\pm8)，记为(\pm\sqrt{64}=\pm8)，64的算术平方根是8。