师：同学们好，欢迎大家再次来到数学课堂。今天我们一起来学习初中数学北师大版七年级上册第五章第三节“应用一元一次方程——水箱变高了”。同学们，准备好了吗？通过前面几节课的学习，我们已经掌握了一元一次方程的哪些知识呢？首先，我们学习了一元一次方程的概念：只含有一个未知数，且未知数的指数是一的整式方程叫一元一次方程。接着，我们学习了一元一次方程的解法及步骤，即去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为一。今天我们接着学习一元一次方程的应用。
请同学们看这样一个情境：老师用橡皮泥捏出一个瘦高的圆柱体，然后让它变矮，变成一个又矮又胖的圆柱体。请同学们思考下面几个问题：在操作过程中，圆柱由高变矮，圆柱的底面直径变了吗？圆柱的高变了吗？在这个变化过程中是否有不变的量？
生：通过观察发现，圆柱的底面直径变大了，圆柱的高变小了，圆柱的形状改变了，但体积不变，即(V_{瘦高圆柱}=V_{矮胖圆柱})。
师：好，下面让我们一起来解决教材141页的一个问题。某居民楼顶有一个底面直径和高均为4米的圆柱形储水箱，现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4米减少为3.2米。那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4米变为多少米？请同学们思考下面两个问题：题目中有哪些已知量？在这个问题中有怎样的等量关系？
生：通过题目条件，已知量有旧水箱的高是4米，底面直径是4米；新水箱的底面直径是3.2米。根据容积不变可得等量关系(V_{旧水箱}=V_{新水箱})。
师：若是水箱的高度变为(x)米，请同学们填写下表。
根据旧水箱的底面直径是4米可得旧水箱的底面半径是2米。根据新水箱的底面直径是3.2米，可得新水箱的底面半径是1.6米。已知旧水箱的高是4米，新水箱的高设为(x)米。根据圆柱的体积等于圆柱底面圆面积乘以圆柱的高，可得旧水箱的容积为(2^{2}×4\pi)，新水箱的容积为(1.6^{2}×\pi x)。由已知条件旧水箱的容积等于新水箱的容积，可得方程(2^{2}×4\pi = 1.6^{2}×\pi x)。请同学们拿出纸和笔解一解此方程。
师：下面让我们一起来看一下解答过程。
设水箱的高变为(x)米。根据题意，得(2^{2}×4\pi = 1.6^{2}×\pi x)。解这个方程得(x = \frac{25}{4})。因此水箱的高变成了(\frac{25}{4})米。同学们，解对了吗？解好以后别忘了检验一下方程的解是否符合实际，(x = \frac{25}{4})显然是合理的。请同学们思考，通过本题的解决过程，列方程的关键是什么？
生：列方程的关键是寻找题目中的等量关系。
师：下面我们一起来看教材141页的例题。用一根10米的铁丝围成一个长方形，使得该长方形的长比宽多1.4米。此时长方形的长宽各是多少米？使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长宽各为多少米？它所围成的长方形与一中所围长方形相比面积有什么变化？使得该长方形的长与宽相等围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？与二中所围成的面积相比又有什么变化？请同学们仔细读题，审清题意，思考下面几个问题：例题中有哪些已知量和未知量？你能准确找到每一问题中的等量关系吗？
下面我们先来看第一小题，若该长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的长宽各是多少米？通过题目中的条件我们不难发现，已知量有铁丝的长10米，长方形的长比宽多1.4米，未知量是长方形的长和宽。此问题的等量关系有下面两个：长方形的宽加1.4米等于长方形的长，铁丝的总长等于长方形的周长。如果我们设长方形的宽为(x)米，则长为(x + 1.4)米。根据铁丝的总长等于长方形的周长列方程(2(x + x + 1.4) = 10)。下面请同学们拿出纸和笔解一解，算一算。
师：我们一起来看一下此题的解答过程。
设此时长方形的宽为(x)米，则长方形的长为(x + 1.4)米。根据题意，得(2(x + x + 1.4) = 10)，解这个方程：
[
\begin{align*}
2(x + x + 1.4) &= 10\
2(2x + 1.4) &= 10\
4x + 2.8 &= 10\
4x &= 10 - 2.8\
4x &= 7.2\
x &= 1.8
\end{align*}
]
(1.8 + 1.4 = 3.2)。此时长方形的长为3.2米，宽为1.8米。同学们，解对了吗？通过对此问题的分析及解答，请同学们思考解题的关键是什么？
生：解题的关键是理解题意，准确找出题目中的等量关系。
师：我们接着看第二小题，若该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长和宽各为多少米？围成的长方形与一中围成的长方形相比，面积有什么变化？此题的条件与第一小问相似，区别在于由第一小问的长比宽多1.4米变化为长比宽多0.8米。因此本题的已知量有铁丝长为10米，长方形的长比宽多0.8米。要求的问题是除了长方形的长和宽，又增加了对面积的比较。探究此问题中的等量关系有下面两个：长方形的宽加0.8米等于长方形的长，铁丝的总长等于长方形的周长。要求面积的变化，只要求出长与宽带入，根据面积公式计算即可。
仿照第一小题，我们可以设长方形的宽为(x)米，则长方形的长为(x + 0.8)米，可列方程(2(x + x + 0.8) = 10)。请同学们拿出纸和笔解一解此方程。
师：下面我们一起来看一下正确的解答过程。
设此时长方形的宽为(x)米，则它的长为(x + 0.8)米。根据题意，得(2(x + x + 0.8) = 10)，解这个方程：
[
\begin{align*}
2(x + x + 0.8) &= 10\
2(2x + 0.8) &= 10\
4x + 1.6 &= 10\
4x &= 10 - 1.6\
4x &= 8.4\
x &= 2.1
\end{align*}
]
(2.1 + 0.8 = 2.9)。此时长方形的长为2.9米，宽为2.1米，面积为(2.9×2.1 = 6.09)平方米。一中长方形的面积为(3.2×1.8 = 5.76)平方米。此时长方形的面积比一中长方形的面积增大(6.09 - 5.76 = 0.33)平方米。
同学们，解对了吗？那么解决此问题的关键是什么呢？
生：解决此问题的关键是准确找到题目中的等量关系。
师：我们接着看第3小题，若该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么正方形的边长是多少？围成的正方形的面积与2中相比又有什么变化？通过已知条件可知已知量有铁丝的总长10米，要求的是正方形的边长，正方形的面积。此问题的等量关系仍然是铁丝的总长等于正方形的周长。因为正方形的面积等于边长的平方，所以边长求出面积即可得出。请同学们拿出纸和笔类比第一、二小题解一解，求一求。